বুলিয়ান অ্যালজেবরা
তৃতীয় অধ্যায় (দ্বিতীয় অংশ) | এইচএসসি আইসিটি
১. ভূমিকা ও সংজ্ঞা
বুলিয়ান অ্যালজেবরা: প্রখ্যাত ইংরেজ গণিতবিদ জর্জ বুল (George Boole) গাণিতিক ও যুক্তিভিত্তিক কাজ নিয়ন্ত্রণের জন্য শুধুমাত্র সত্য (1) ও মিথ্যা (0) ব্যবহার করে এক ধরনের অ্যালজেবরা প্রবর্তন করেন। তার নামানুসারে একে বুলিয়ান অ্যালজেবরা বলা হয়।
ডিজিটাল ডিভাইস: যে সকল ইলেকট্রনিক ডিভাইস ডিজিট বা সংখ্যার (বাইনারি ০ এবং ১) মাধ্যমে সকল কার্যপদ্ধতি সম্পন্ন করে, তাকে ডিজিটাল ডিভাইস বলা হয়।
২. বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Axioms)
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় সমস্ত গাণিতিক কাজ করা হয় যোগ (OR) ও গুণ (AND) এর নিয়মে। যোগ ও গুণের কাজ করার সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা নির্দিষ্ট কিছু নিয়ম মেনে চলে। এই নিয়মগুলোকে বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়।
যৌক্তিক যোগ (OR Operation)
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 1
যৌক্তিক গুণ (AND Operation)
- 0 . 0 = 0
- 0 . 1 = 0
- 1 . 0 = 0
- 1 . 1 = 1
* এখানে যোগ সাধারণ বীজগাণিতিক যোগ নয়, এটি লজিক্যাল যোগ। একইভাবে গুণ হলো লজিক্যাল গুণ।
৩. মৌলিক উপপাদ্য ও পূরক
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় বা A' চিহ্নটি পূরক বা NOT অপারেশন নির্দেশ করে।
NOT বা পূরক এর নিয়ম
- = 1
- = 0
- = A (ডাবল বার)
মৌলিক সূত্রাবলি
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
- A + = 1
- A . 0 = 0
- A . 1 = A
- A . A = A
- A . = 0
৪. বিভাজন ও ডি-মরগ্যান উপপাদ্য
বিভাজন উপপাদ্য (Distributive Laws)
- A(B + C) = AB + AC
- A + BC = (A + B)(A + C) (গুরুত্বপূর্ণ)
ডি-মরগ্যান (De Morgan's) এর উপপাদ্য
- ১ম সূত্র: = .
- ২য় সূত্র: = +
সহজ মনে রাখার উপায়: "বার ভাঙলে চিহ্ন পাল্টায়" (যোগ থাকলে গুণ হয়, গুণ থাকলে যোগ হয়)।
৫. লজিক ফাংশন সরলীকরণের নিয়ম
- সরলীকরণ সাধারণত বাম দিক থেকে ডান দিকে করতে হয়।
- প্রথম বন্ধনী ( ), দ্বিতীয় বন্ধনী { } এর কাজ ক্রমানুসারে করতে হবে।
-
অপারেশনের অগ্রাধিকার (Priority):
- সবার আগে NOT (পূরক) এর কাজ।
- তারপর AND (গুণ) এর কাজ।
- সবার শেষে OR (যোগ) এর কাজ।
- ডি-মরগ্যান এবং বিভাজন উপপাদ্য প্রয়োগ করে রাশি ছোট করতে হবে।